教学设计——《直线与圆的位置关系》

8．4 圆（二）

——模拟教学法

教学目标

知识目标：（1）理解直线和圆的位置关系；

（2）了解直线与圆相切在实际中的应用．

能力目标：（1）培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．

          （2）培养学生的空间思维能力。

教学重点    直线与圆的位置关系的理解和掌握．

教学难点    直线与圆的位置关系的判定．

教学设计

直线与圆的位置关系的判定是本节的难点，将直线的方程与圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线和圆的位置关系，理论上讲是很简单的，但是，实际操作的运算过程很麻烦．教材采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法，相对比较简单．平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小，来判定直线与圆的位置关系，学生容易接受，例6就是采用这种方法进行讨论的．

经过一点求圆的切线方程，通常作法是设出点斜式方程，利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率，从而得到切线方程，其中蕴含着“待定系数法”和“解析法”等数学方法．

例8是直线在科技领域中的应用知识，根据光学原理，反射角等于入射角，利用直线的斜率公式可以求得反射点P的坐标．例9是圆在生产实践中的应用知识．解决这类实际问题首先要选择直角坐标系．

课时安排   1课时．

教学过程

揭示课题

8．4 圆（二）

创设模拟情境一 兴趣导入

知识回顾

我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图8-21）：

（1）相离：无交点；

（2）相切：仅有一个交点；

（3）相交：有两个交点．

并且知道，直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别（如图8-22）：

（1）：直线与圆相离；

（2）：直线与圆相切；

（3）：直线与圆相交.

动脑思考 探索新知

新知识

设圆的标准方程为

        ，

则圆心C(a，b)到直线的距离为

．

比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系

巩固知识 典型例题

知识巩固

例6  判断下列各直线与圆的位置关系：

⑴ 直线, 圆；

⑵ 直线, 圆．

解　⑴ 由方程知，圆C的半径  圆心为．

圆心C到直线的距离为

,

由于，故直线与圆相交．

⑵  将方程化成圆的标准方程，得

．

因此，圆心为，半径．圆心C到直线的距离为

,

即由于，所以直线与圆相交．

想一想

你是否可以找到判断直线与圆的位置关系的其他方法？

例7  过点作圆的切线，试求切线方程．

分析   求切线方程的关键是求出切线的斜率．可以利用原点到切线的距离等于半径的条件来确定．

              解  设所求切线的斜率为，则切线方程为  

                       ，

即      ．

圆的标准方程为

，

所以圆心，半径．

圆心到切线的距离为

，

由于圆心到切线的距离与半径相等，所以

          ，

解得        ．

故所求切线方程（如图8-23）为

      ，

即   或．

              说明  例题7中所使用的方法是待定系数法，在利用代数方法研究几何问题中有着广泛的应用．

想一想

能否利用“切线垂直于过切点的半径”的几何性质求出切线方程？

运用知识 强化练习  

1．判断下列直线与圆的位置关系：

⑴ 直线与圆；

⑵ 直线  与圆；

⑶ 直线与圆．

2．求以为圆心，且与直线相切的圆的方程．

理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题：

如何判定直线与圆的位置关系？

结论：

直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离与半径的关系来判别：

（1）：直线与圆相离；

（2）：直与圆相切；

（3）：直线与圆相

归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

布置作业：

(1)读书部分：教材   (2)书面作业：教材习题8.4  A组（必做）；8.4  B组（选做）