教学设计——《分段函数应用》

教     学    过    程

设计意图

【设置情景 兴趣导入】

    根据水文地理学家的估算，地球上的水资源总量约为立方米，其中97.5%是海水，适宜人类享用的仅为0.01%，目前世界上许多国家正面临水资源危机。为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：

（1） 小王家今年9月份用水量为8.9立方米，他家应该交多少水费？

（2） 小明家今年10月份用水量为12立方米，他家应该交多少水费？

（3） 每户每月用水量x（）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？

解：（1）小王家应该交：元；    

（2）小明家应该交：

元;     (3)当时，元

当x10时,

综合以上两种情况，将函数写作：

【动脑思考 探索新知】

  分段函数：

  在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数。

说明： 

1、 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不 过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．

2、 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集。 

3、 分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，然 后再把代入到相应的解析式中进行计算．

【巩固知识 典型例题】

在上面的例题中， （1）求f(x)的定义域；

（2）求f(20)、f(6)的值。  

解：（1）f(x)的定义域为：    

（2）f(20)=2.8*20-12=44          f(6)=1.6*6=9.6 

【运用知识 强化练习】

练习1、已知函数   

（1）          求f(x)的定义域； 

（2）          （2）求f(-2)、f(0)、f(3)的值。   

练习2、已知函数     （1）求函数的定义域；  （2）求f(2),f[f(-1)]的值。

【归纳小结 强化思想】

1、了解分段函数的定义；  2、掌握分段函数的表示方法；

用日常生活场景中的问 题带领学生进入分段函 数的研究       注意引导学生理解实际 的问题的意思    体现由特殊 到一般的数 学思想  解析式的建用日常生活场景中的问 题带领学生进入分段函 数的研究       注意引导学生理解实际 的问题的意思    体现由特殊 到一般的数 学思想  解析式的根据实例建立起分段函数的概念   带领学生理解分段函数的解析式、求定义域和函数值。    再次通过实例进一步领会分段函数的本质意义，并能够求出分段函数的定义域、函数 值。   通过练习及时了解学生知识掌握的情况。练习2在练习1的基础上更加了难度，强化求分段函数的定义域及函数值

教学任务分析

教

学

目

标

知识与能力

1.学习分类讨论的分析方法,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数的图像；  2.会运用一次函数的图像和性质解决实际问题.

过程与方法

1.培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；  2.经历将实际问题转化为数学问题的过程，获得建立函数模型解决实际问题的经验和方法；  3.结合一次函数的图像和性质探究实际问题中的数量关系，体会数形结合的思想

情感态度 与价值观

1.让学生感受数学源于生活、服务于生活，体会数学的应用价值；  2.通过合作探究，增强学生的应用意识和创新意识，激发学生学习数学的兴趣，感受成功的喜悦.

重点

1.学习分类讨论的分析方法，建立数学模型;

2.综合运用一次函数解决实际问题.

难点

如何将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.

教学方法

小组合作、探究式.

教学过程

问题与情景

师生行为

设计意图

[ 活动1 ] 创设情境，导入新课     引例：春意盎然，万物复苏，我们迎来了第29届洛阳牡丹花会，各地游客纷纷而来.南阳游客王师傅一家周日早上6:00开始了洛阳自驾一日游,王师傅将这一天的行程绘制成如下图象： 9 180 DC BA 提出问题： 1．9：00时，王师傅距离南阳多远？ 2．什么时候， 王师傅距洛阳120千米远？ 3. 你能否求出汽车行驶全程中y（km）与时刻x（时）的关系？

学生可能观察到： 横轴代表时刻x(h)，纵轴代表汽车离南阳的距离y(km)，y是x的函数. 6点出发；10点到达；6—10点去往洛阳路上；10—19点在洛阳停车游玩；19点开始返回南阳,22点到家.往返平均速度分别是75 km/h、100 km/h. 教师引导建立一次函数模型. 展示具体解答过程. 教师应当关注：  (1)学生对汽车离南阳的距离y和时刻x之间的函数关系的理解；  (2)学生能否通过数形结合法去分析和解决问题.

唤起学生的求知欲，使学生认识到数学是与生活密不可 分的. 让学生主动观察图 像，善于从函数图象中获 取信息.  把知识 的发现权交 给学生,让他们在解决问题的过程中，经历发现问题→提出问 题→分析问题→解决问 题的过程引导学 生将实际问题转化为数学问题，建立函数模型解决.  答案的多样性，体现学生的创造性.

[ 活动2 ]例题探索      王师傅一家的第一站是牡丹公园,公园门票的收费标准是50元/张，如果一次购买5张以上超出部分打9折. (1)填出下表  购买门票数量/张  2 4 5 7 10 15 20 … 付款金额/元        …  （2）写出付款金额与购买门票数量之间的函数解析式，并画出函数图象.

学生独立思考，自主探究，并展示具体解答过程.       教师巡视，批改学生答案，并对学生探究过程中出现的问题给予帮助.      本次活动中，教师应关注： (1)观察类比探究新知的方法； (2)学生是否在解析式和图象上反映出自变量的相应取值范围.  (3)对于“超出部分”的理解.

教师引导学生建立函数模型.  通过让学生独立思考、分组讨论和互相补充，培养学生的合作意识并学习分类讨论的分析方法.

[ 活动3 ] 牛刀小试     课堂练习：     “洛阳牡丹甲天下”,王师傅一家被牡丹的国色天香、雍容华贵深深地吸引了，他们决定带些洛阳特产—牡丹饼回南阳,牡丹饼价格如下： ⑴原价20元/盒； ⑵一次购买10盒以上，超出部分打8折. 写出付款金额与购买盒数之间的函数解析式，并画出函数图象.

部分学生演板，剩余学生在学案上独立完成. 教师巡视，了解学生对知识的掌握情况. 本次活动中，教师应重点关注： (1)学生能否写出 分段函数的函数模型；  (2)学生能否灵活运用分类讨论的分析方法

通过练习学生进一步理解一次函数在生活中的应用，巩固理解分类讨论的分析方法.

[ 活动4 ] 知识升华

总结归纳，交流分享：  1.这节课，你学到了什么知识？ 2.除了知识外，你还有什么收获？

学生回顾本节知识，教师归纳总结.

教师应关注：

(1)允许学生答案不同，应当多多鼓励；  (2)能力方面的收获.

进行课堂教学的反馈，组织和指导学生从知识、思想方法和情感角度总结本节课的收获与感悟,培养学生的归纳能力.

[ 活动5 ] 超越自我  1.布置作业：教科书121页第12题（必做）; 2.课外作业（选做）：      玩了一天，王师傅一家该返程了,他了解到洛阳到南阳有往返大巴，在每天17：00从洛阳发车返回南阳，他把了解到的大巴的行驶情况也画在下图中.  ①你能否判断谁先到达？  ②王师傅能否追上班车？如果不能，请说明理由；如果能，何时追上?（两车行驶路线完全相同）.

教师布置作业，学生按要求课外完成.      学生开阔思维，展开合理的数学构想.  教师应关注： (1)对作业中的问题要注意个体分析；  (2)不同层次学生在作业中反映出的问题及时解决

巩固所学知识，解决实际问题.     充分让学生感受到数学与生活的密切联系，从而激发学生的学习兴趣.  与《14.3从函数观点看方程（组）与不等式》衔接.

[活动6 ] 相信自己，我一定行！     课堂检测：      小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了 步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．   (1) 小刚上学步行的平均速度是        米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是       米？    (2) 下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：①小刚到家的时间是下午           ？②小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．

学生独立完成课堂检测，教师批改后注意反馈.

巩固检测本节所学知识.